这几天我对行星齿轮的原理很感兴趣，但看了百度有驾上(以及百度到的)很多关于行星轮原理的介绍后，发现它们不是太过简略就是太过专业(不加推导地使用了太多专业公式)，以至于连我这个凝聚态理论专业的研究人员也看不懂。无奈，我只得根据网上找到的行星齿轮结构，自已推导了行星齿轮的工作原理，在此给大家分享一下。
我本身并非机械工程专业，所以我的推导所涉及的理论都很初级，就是高中学过的牛顿第三运动定律，所以大家只要仔细看，我相信一定能完全看懂。有问题欢迎留言。
如图1所示，系统中有三个齿轮：最内层的太阳轮(半径r)、最外层的齿圈(半径R)、连接内外层的行星轮(半径为r_{自}=(R-r)/2)。太阳轮和齿圈只会自转，行星轮既自转又绕太阳轮公转，公转半径为r_{中}=(R+r)/2。整个系统的结构完全由r和R这两个参数决定。为方便记忆，我们根据齿轮的位置，把太阳轮称为内轮，齿圈称为外轮，行星轮称为中轮。
三个齿轮一共有4种转动，每种转动由一个参数来描述，共4个参数(参见图1):
(1)内轮的自转，由角速度\omega描述；
(2)外轮的自转，由角速度\Omega描述；
(3)中轮围绕自身的质心自转，由角速度\omega_{自}描述；
(4)中轮的质心围绕太阳轮的质心公转，由角速度\omega_{中}描述。
【备注】所有的角速度都以逆时针为正方向：正值代表逆时针转，负值代表顺时针转。
然而，上述4个参数并不完全独立，因为中轮跟内、外轮都有接触。中轮质心的线速度为\omega_{中}r_{中}，而中轮的自转导致接触点A相对中轮质心的线速度为-\omega_{自}r_{自}，因此中轮在接触点A处的线速度为\omega_{中}r_{中}-\omega_{自}r_{自}，它必须等于内轮在接触点A处的线速度\omegar(否则在接触点会打滑)；类似的，在接触点B，中轮的线速度\omega_{中}r_{中}+\omega_{自}r_{自}必须等于外轮的线速度\OmegaR(否则在接触点会打滑)。于是我们得到两个约束条件：
\omegar=\omega_{中}r_{中}-\omega_{自}r_{自}，\\\OmegaR=\omega_{中}r_{中}+\omega_{自}r_{自}，
它导致整个系统的4种运动(\omega,\Omega,\omega_{中},\omega_{自})中，只有两种是独立的，我们可以任意选择两个参数做为独立参数。比较方便的选择是以\omega,\Omega为独立参数，它俩一旦确定，则\omega_{中},\omega_{自}也就确定了(亦即中轮的转动完全由内、外轮的转动决定):
\omega_{中}=\frac{\OmegaR+\omegar}{2r_{中}}=\frac{\OmegaR+\omegar}{R+r},\\\omega_{自}=\frac{\OmegaR-\omegar}{2r_{自}}=\frac{\OmegaR-\omegar}{R-r},
如图2所示，实际的行星齿轮系统，包含许多个中轮共同绕着内轮公转，同时每个中轮也会绕各身的质心自转。由于中轮的转动\omega_{中},\omega_{自}完全由内、外轮的转动决定(参见前面两个式子)，因此不同中轮的运动(不论是自转还是公转)是完全相同的，因此通常会把这些中轮的质心全部焊在一起，形成一个新的中轮(称为行星架)，行星架的转动相当于每个中轮的公转。因此，整个系统一共有4种运动：每个中轮的自转\omega_自，行星架的转动(也就是每个中轮的公转)\omega_中，内轮的转动\omega，外轮的转动\Omega。实际应用时，每个中轮的自转是完全自由的，只有内、外轮和行星架才跟驱动端和负载端有连接，因此我们通常只关注后面三种转动：\omega(内轮转速)，\Omega(外轮转速)，\omega_{中}(行星架的转速，亦即中轮的公转角速度)。
【备注】为简便起见，以后我们有时把行星架也称为中轮。“中轮转速”一律指行星架的转速(也就是中轮的公转角速度)\omega_{中}。
上述三个参数中只有两个是独立的，遵从如下约束：
\omega_{中}=\frac{\OmegaR+\omegar}{R+r}(公式1)
该公式表明，中轮的转速\omega_{中}正好是内、外轮转速\omega,\Omega的加权平均，权重正好是内、外轮的半径r,R。内轮和外轮，都试图对中轮施加影响(影响力大小等于自己的半径)，让中轮跟着自己同步转动。为了加深理解，我们考虑三种特殊情况：
(1)内轮远小于外轮(r\llR)时，内轮对中轮几乎没有影响力，中轮跟着外轮转：\omega_{中}\approx\Omega。
(2)内、外轮几乎一样大(r\approxR)时，两者对中轮的影响力相同，中轮的转速\omega_{中}\approx(\omega+\Omega)/2等于内、外轮转速\omega,\Omega的平均值。
(3)无论内外轮大小如何，只要内外轮同步转动(\omega=\Omega)，就有\omega_{中}=\omega=\Omega，即三个齿轮完全同步转动，就好像中轮被焊死在内、外轮上一样。
我们现在来推导系统在稳定工作时，施加在内轮、中轮、外轮上的扭矩所必须满足的约束关系。这里需要用到的核心理论是，一个刚体既可以绕自身的质心转动(用转速\omega来描述)，又可以整体做平移(用质心的移动速度v来描述)。要让一个刚体处于平衡状态，需要满足两个条件：一是作用在这个刚体上的所有力加起来为零；二是作用在该刚体上的所有力矩(又名扭矩)加起来为零。
【备注】刚体处于平衡状态的意思是指，该刚体的\omega和v都保持恒定值(即不随时间变化)。如果\omega和v的恒定值都是零，则称刚体处于静平衡状态；如果\omega和v的恒定值中至少有一个不为零，则称刚体处于动平衡状态。
我们以逆时针为扭矩的正方向，即正的扭矩会导致齿轮逆时针转动，负的扭矩会导致齿轮顺时针转动。如图3所示，我们假设外界驱动(如汽车发动机)作用在内轮、中轮、外轮上的扭矩分别为m,m_{中},M，下面我们将推导整个系统都处于平衡状态时，这三个输入扭矩需要满足的约束关系。首先，我们注意到中轮和内轮在A点有接触，中轮和外轮在B点有接触。在A点，中轮对内轮施加摩擦力(假设方向向左，如蓝色箭头所示)，内轮反过来也对中轮施加摩擦力(假设方向向右，如橙色箭头所示)，两者大小相等，方向相反。类似的，在B点，中轮和外轮也互相向对方施加摩擦力，我们假设中轮对外轮的摩擦力向左(如红色箭头所示)，外轮对中轮的摩擦力向左(如橙色箭头所示)。
这里为了方便记忆，我特意选择了箭头的颜色：跟某个轮的颜色相同的箭头，代表作用在这个轮上的力，比如蓝色箭头代表作用在内轮上的力，橙色箭头代表作用在中轮上的力，红色箭头代表作用在外轮上的力。
(1)内轮接收到输入扭矩m，以及由中轮摩擦力带来的扭矩-F_{A}r，两者加起来必须等于0。这给出第一个方程：
m-F_{A}r=0
(2)外轮接收到输入扭矩M，以及由中轮摩擦力带来的扭矩-F_{B}R，两者加起来必须等于0。这给出第二个方程：
M-F_{B}R=0
(3)中轮接收到来自外界的作用力m_{中}/r_{中}，它产生让中轮逆时针公转的扭矩m_{中}。同时，中轮还接收到来自内轮的摩擦力F_{A}和来自外轮的摩擦力F_{B}，前者产生让中轮逆时针公转的扭矩F_{A}r，后者产生让中轮逆时针公转的扭矩F_{B}R。中轮的质心要平衡，作用在中轮上的所有力之和必须为零:
m_{中}/r_{中}+F_{A}+F_{B}=0
中轮的公转要平衡，所有让中轮产生公转的扭矩之和必须为零:
m_{中}+F_{A}r+F_{B}R=0
【注意】我们这里并没有要求中轮的自转也处在平衡状态，因为中轮的自转是完全自由的，并没有施加驱动或负载。
于是我们得到关于5个参数m,m_{中},M,F_A,F_B的4个约束方程，因此这5个参数中只有一个是独立的：给定其中一个参数的值，其它4个参数的值就全部确定了。直接求解上述方程可得
F_A=F_B=\frac{m}{r}=\frac{M}{R}=-\frac{m_{中}}{R+r}
因此，系统平衡时，输入到三个齿轮上的扭矩m,m_{中},M必须满足如下比例关系：
m_{中}:m:M=(R+r):-r:-R(公式2)
下面我们讨论三种特殊情况(其中\lambda为任意常数，可正可负)：
(1)如果给中轮输入扭矩\lambda(R+r)，那么必须同时给内轮输入扭矩-\lambdar，给外轮输入扭矩-\lambdaR，才能保持系统平衡。如果只给中轮输入扭矩\lambda(R+r)，那么内轮将会感受到净扭矩\lambdar，外轮将会感受到净扭矩\lambdaR，相当于系统将输入给中轮的扭矩\lambda(R+r)按比例拆成\lambdar和\lambdaR两部分，传递给内轮和外轮。相反，如果我们给内轮输入扭矩\lambdar，同时按比例给外轮输入扭矩\lambdaR，那么将在中轮上产生净扭矩\lambda(R+r)，相当于系统将按照比例输入给内轮和外轮的扭矩\lambdar和\lambdaR，合成总扭矩\lambda(R+r)，传递给中轮。
(2)如果给内轮输入扭矩\lambdar，则必须同时给中轮输入扭矩-\lambda(R+r)，给外轮输入扭矩\lambdaR，才能保持系统平衡。如果只给内轮输入扭矩\lambdar，那么将中轮将会感受到净扭矩\lambda(R+r)，外轮会感受到净扭矩-\lambdaR，相当于系统将输入给内轮的扭矩\lambdar拆成\lambda(R+r)和-\lambdaR两部分，传递给中轮和外轮。反之，如果我们给中输入扭矩\lambda(R+r)，并且按比例给外轮输入扭矩-\lambdaR，那么系统会将这两个扭矩合成总扭矩\lambdar，然后传递给内轮。
(3)类似的，系统会将输入给外轮的扭矩\lambdaR拆成\lambda(R+r)和-\lambdar两部分，传递给中轮和内轮。反之，如果我们给中轮输入扭矩\lambda(R+r)，同时按比例给内轮输入扭矩-\lambdar，那么系统会将它们合成总扭矩\lambdaR，然后传递给外轮。
由此可见，通过行星齿轮系统，可以将驱动装置(如汽车发动机)输入给某个齿轮的扭矩按固定的比例(由齿轮结构决定)一分为二，传递给另外两个齿轮，实现扭矩的分流。同时，也可以将两台驱动装置(如内燃机和电动机)按比例输入给某两个齿轮的扭矩，合并成一个，传递给第三个齿轮，实现扭矩的合成。
首先我们以一个固定在转轴上的单个孤立的齿轮为例，讨论给齿轮输入一个扭矩会产生什么效果。如图4左边所示，假设驱动机构向该齿轮输入一个正扭矩M>0，它将导致齿轮加速沿逆时针转动，随着转速\Omega的增加，齿轮受到越来越大的(来自转轴或者来自风阻)的摩擦阻力扭矩M_F=-\alpha\Omega<0(\alpha为一个正的常数，由齿轮的构造决定)。当阻力扭矩刚好平衡掉驱动扭矩时(M+M_F=0)，齿轮达到最高转速\Omega_0=M/\alpha并保持不变，进入平衡状态。上述过程可以这样理解：给齿轮输入扭矩M可以驱动齿轮转动(转动方向由输入扭矩的方向决定)，并在阻力的作用下达到一个最终的恒定转速M/\alpha。输入扭矩越大，最终的恒定转速就越大。如果齿轮就是汽车的驱动轮，那么踩油门越深，输入到驱动轮的扭矩就越大，从而使驱动轮(和汽车)达到更高的恒定速度。如果不踩油门，那么输入扭矩为零，汽车会在摩擦阻力的作用下慢慢停下来。
现在开始讨论扭矩和功率的关系，需要用到一个公式：如果驱动装置输入给齿轮的瞬时扭矩为M(t)，而齿轮的瞬时转速为\Omega(t)，则驱动装置输入给齿轮的瞬时功率为P(t)=M(t)\Omega(t)。以电动汽车加速(始终将电门踩到底)为例，在t=0时刻汽车静止，速度为零，摩擦阻力扭矩也为零，此时电动机输入给轮胎的扭矩是最大的(等于电动机的最大输出扭矩M_{max})，但轮胎和汽车的速度为零，因此发动机的输出功率为零(如上图4右边所示)。随着时间的推移，轮胎的转速\Omega(相当于汽车行驶的速度)从零开始快速上升，发动机的输出扭矩维在M_{max}，输出功率P=M_{max}\Omega则从零开始快速上升并很快达到电动机的最大输出功率P_{max}(此时轮胎的转速为\Omega_1\equivP_{max}/M_{max})。此后，发动机的输出功率保持最大值P_{max}，轮胎的转速\Omega超过\Omega_1并且继续上升，导致发动机的输出扭矩M=P_{max}/\Omega低于M_{max}并继续下降。另一方面，随着速度的提升，阻力扭矩M_F=-\alpha\Omega始终在增加，因此作用在轮胎上的总扭矩M_{总}=P_{max}/\Omega-\alpha\Omega不断减小。最终，当转速达到\Omega_0\equiv\sqrt{P_{max}/\alpha}时，总扭矩降到零，从而汽车达到最大恒定速度。
前面我们讨论了行星齿轮如何把输入给某个齿轮的扭矩分配给其它两个齿轮。现在我们来讨论行星齿轮如何把输入给某个齿轮的功率分配给其它两个齿轮。为明确起见，我们假设电动机输入给中轮一个扭矩\lambda(R+r)。根据前面的讨论，系统将把这个扭矩按比例拆分成\lambdar和\lambdaR两部分，分别传递给给内、外轮。把输入给中轮的扭矩\lambda(R+r)乘以中轮的转速\omega_{中}，就得到输入给中轮的功率P_{中}=\lambda\omega_{中}(R+r)。类似的，把分配给内轮的扭矩\lambdar乘以内轮的转速\omega，就得到分配给内轮的功率P_{内}=\lambda\omegar。把分配给外轮的扭矩\lambdaR乘以外轮的转速\Omega，就得到分配给外轮的功率P_{外}=\lambda\OmegaR。根据第二节的讨论，内、中、外轮的转速服从公式(1)，因此输入给中轮的功率可以写成
P_{中}=\lambda(\OmegaR+\omegar)，
它正好等于分配给内、外轮的功率之和。也就是说，行星齿轮把输入给中轮的功率一分为二，分别传递给内轮和外轮。类似的，输入给任何一个齿轮的功率都会被行星齿轮一分为二，传递给其它两个齿轮，具体分配比例由这两个齿轮的转速决定。比如，假设电动机输入给内轮一个扭矩\lambdar，则行星齿轮会把它拆成\lambda(r+R)和-\lambdaR两部分，分配给中轮和外轮。与此同时，行星齿轮将电动机输入给内轮的功率P_{内}=\lambda\omegar一分为二，传递给中轮和外轮，传递给中轮的功率为P_{中}=\lambda(\OmegaR+\omegar)，传递给外轮的功率为P_{外}=-\lambda\OmegaR。
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